方 程 与 图 形

公 式 与 说 明

[二平面的夹角]

P₁ A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

P₂ A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

式中就是二平面P₁和P₂的二面角

方 程 与 图 形

公 式 与 说 明

[平面束× 三平面共线的条件]

(A₁x+ B₁y+ C₁z+ D₁) + l (A₂x + B₂y + C₂z + D₂) = 0

(l 为参数，-¥ <l < ¥ )

[平面把× 四平面共点的条件]

(A₁x+ B₁y + C₁z + D₁)+

= 0

(l , m 为两个独立参数，

- ¥ < l , m < ¥ )

对l 的一个确定值，表示一个通过二平面P₁和P₂交

线L的平面，当l 取一切值时，所表示的通过L的平面的全体称为平面束，L称为束的轴.

设P₃为A₃x + B₃y + C₃z + D₃ = 0，则三个平面P₁, P₂, P₃共线的条件为矩阵

的秩等于2.

对l ,m 的一对确定值， 表示通过三平面P₁, P₂和P₃交点G的一个平面，当l , m 取一切值时， 所表示的通过G的平面的全体称为平面把，G称为把的顶点.

设P₄为A₄x + B₄y + C₄z + D₄ = 0，则四个平面P₁, P₂, P₃, P₄共点的条件为行列式

[点面的距离]

法线式

xcosa +ycosb +zcosg -p = 0

一般式 Ax + By + Cz + D = 0

d_法 = | x₀cosa + y₀cosb + z₀cosg - p |

式中d为点M(x₀,y₀,z₀)到平面的距离

方 程 与 图 形

公 式 与 说 明

[点线的距离]

L

式中d为点M(x₀, y₀, z₀)到直线L的距离，i，j，k为三个坐标轴上的单位矢量，最外面的符号“| |”表示矢量的模

[二直线的夹角]

L₁

L₂

式中j 为二直线L₁和L₂的夹角

[二不平行直线的最短距离]

L₁

L₂

所谓最短距离是指L₁, L₂的公共垂线与此两线交点之间的距离，式中正负号与行列式取同号.从此推出二直线共面的条件为d=0，所在平面的方程为

方 程 与 图 形

公 式 与 说 明

[直线与平面的夹角]

L

P Ax + By + Cz + D = 0

式中j 为直线L与平面P的夹角

平 行 条 件

垂 直 条 件

p₁p₂ + q₁q₂ + r₁r₂ = 0

A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0